具有非倍测度的参数型Littlewood-Paley算子交换子在Morrey空间的有界性

设μ是定义在Rd上的正Radon测度,且仅满足下面的增长条件:存在常数C0>0及n∈(0,d],使得对所有的x∈Rd,r>0,都有

μ(B(x,r))≤C0rn,

(1)

其中B(x,r)是以x为中心r为半径的开球,满足(1)的测度μ称为非倍测度.称测度μ为倍测度的条件,如果存在C>0,使得对所有的x∈Rd和r>0,μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r)).

欧盟空间信息基础设施（INSPIRE）是欧盟委员会于2001年底提出的一项战略倡议，在INSPIRE倡议中提出了一系列议题，包括公共参考数据和元数据、体系和标准、立法和数据政策、投资和执行机构以及影响分析等，其目标是形成协商一致的欧洲法规框架。该倡议计划开始主要关注环境政策需求，现已逐步扩展到欧盟关注的其他领域，如农业、区域政策和交通等。

众所周知,非倍条件在经典的调和分析中起着重要的作用.近年来,许多与Calderón-Zygmund算子和函数空间有关的经典结果在非倍测度条件下仍正确(文献[1-7]).2005年任玉平证明了Littlewood-Paley算子的交换子在Hardy型空间的有界性[8].2008年,林海波等证明了具有非倍测度的参数型Littlewood-Paley算子在Lebesgue空间和Hardy空间上的有界性[9].2011年,薛庆营等证明了具有非倍测度的函数的多线性交换子的端点估计[10].后来,李铁等证明了具有非倍测度的参数型Littlewood-Paley算子在Morrey空间上的有界性[11].受此启发,本文主要讨论具有非倍测度的参数型Littlewood-Paley算子交换子在Morrey空间的有界性.

下面给出一些必要的记号和定义：

设方体Q⊂Rd,总设Q是闭的且平行于坐标轴,用l(Q)表示其边长.设α>1,β>αn,如果μ(αQ)≤βμ(Q),称Q为(α,β)倍方体.这里αQ表示与Q同心且边长为l(αQ)=αl(Q)的方体.

由b∈Lipβ(μ). 以及Minkowski不等式和式(2).可知

设核函数K(x,y)是定义在Rd×Rd{(x,y):x=y}上的局部可积函数且满足下列条件:

(1) 存在常数C>0,使得对任意的x,y∈Rd且x≠y有

|K(x,y)|≤C|x-y|-(n-1),

(2)

定理1 设K(x,y)满足(2)和(9),若为式(8)中定义的参数型Littlewood-Paley算子交换子.假设函数在L2(μ)上有界,对并且则

则称核函数K(x,y)满足Ls-Hörmander条件(文献[13]).

 

(3)

定义关于上述K(x,y)的参数型区域积分和函数分别为

 

(4)

 

(5)

其中且λ∈(1,∞).容易验证若μ是Rd中d维Lebesgue测度且

 

(6)

所以，不能简单地认为模式创新降低了某方面成本，就意味着整体成本的降低。在今天看来，成本这本账不是一个简单的加减法。

其中Ω是零次齐次函数且Ω∈Lipα(Sd-1)(α∈(0,1)),则K(x,y)满足式(2)和式(3).Yabuta和Sakamoto在文献[12]中对式(4)和式(5)进行了研究.

定义1 如果函数满足下列条件

 

则称f∈Lipβ(μ)(0<β<1).

定义2 令ν>1和1≤q≤p<∞. Morrey空间的定义为

 

其中

定义3 定义相应的参数型的区域积分交换子为

 

(7)

定义4 定义相应的参数型的Littlewood-Paley算子交换子为

 

 

(8)

定义5 设1≤s<∞,0<ε≤1.若存在cs>1和Cs>0,使得对任意x∈Rd且l>cs|x|,有

 

 

(9)

互联网是一个还没有完成的科学实验，它过早离开实验室的襁褓来到了人世间。自传输控制协议（TCP）/网际协议（IP）应用的30多年以来，不断有人预言互联网会崩溃，会被新技术所替代，从IP地址耗光、垃圾信息、视频流量、路由表爆炸到安全攻击，原因不一而足；但互联网因其良好的开放性和扩展性，不断自我完善，既没有崩溃更没有被替代。

全文中,C表示与主要参数无关的常数,其值在不同的地方不尽相同.对任意的μ可测集合E, χE表示其特征函数.对于固定的p满足1≤p<∞,p′表示p的共轭指数,即

在Morrey空间有界性

本节主要证明参数型交换子在Morrey空间的有界性.主要结论如下:

(2) 存在常数C>0,对任意的x,y,y′∈Rd,有

 

注意到对∀ρ∈(0,∞),λ∈(1,∞)且x∈Rd,

 

由上面不等式和定理1可以得出下面的定理.

定理2 设K(x,y)满足(2)和(9),若为式(7)中定义的参数型区域积分交换子.假设参数型区域积分在L2(μ)上有界,对并且则

 

为了证明定理1结果,先给出一个引理.

定义6 设0<α<∞,定义与非倍测度μ相关的分数次积分Iα为

2018年是恒丰银行昆明分行扎根云岭的第八年。这一年，恒丰银行昆明分行积极围绕“服务实体经济、防控金融风险、践行战略转型”三大任务，秉承“回归本源、突出主业、做精专业、协调发展”的经营理念，以客户为中心，积极践行社会责任，全力服务云南省实体经济发展。截至2018年9月末，恒丰银行昆明分行本外币各项存款余额406亿元，社会融资总规模535．25亿元，8年来在滇累计提供融资超过2000亿元，实现与地方经济和谐发展。

 

Sawano和Tanaka在文献[14]中对α得到如下结果:

现收集我院2017年1月至2018年1月中期引产者62例,所有产妇均由于社会、医学原因自愿终止妊娠,孕周范围在16~24周之间,31例孕妇引产用药方案为乳酸依沙吖啶、米非司酮联合结合雌激素片,产妇引产效果显著,现汇报如下。

引理1 设0<α<1,Iα为上式所定义的分数次积分,且则存在常数C>0,有

教风学风问题应引起高校的足够重视，应引起全体教师的足够重视，应把“以学生为中心”作为教风学风建设的首要宗旨。对上述问题，拟提出以下解决措施：

 

定理1的证明 由b∈Lipβ(μ),以及Minkowski不等式和式(2),可得

Ⅰ+Ⅱ

患者晨起空腹抽取静脉血，测定患者肝肾功能变化情况。将1.8 mL血置于3.18%枸橼酸抗凝试管中，抗凝剂和血液比例为 1∶9，采用Thromboscreen400C自动血液凝血分析仪测定凝血酶原时间国际标准化比率（PT‐INR）、D‐二聚体（D‐D）、凝血酶原时间（PT）；采用普利生四通道血小板聚集分析仪测定血小板聚集功能（PAgT）。

Ⅱ

分别于正试期前1 d和正试期结束时，早饲前后肢静脉采血10 ml，3 000 r/min下离心15 min制备血清，于-20℃低温冰柜保存备用。其中血糖、总蛋白、白蛋白、尿素氮、甘油三酯、胆固醇及游离脂肪酸的测定采用深圳迈瑞生物医疗电子股份有限公司的BS-190全自动生化分析仪测定；激素指标采用ELISA方法测定。

 

 

 

 

 

 

其中

设备调试运行模块是将已经组装完整的设备进行通电、通风和通药试运行，检查错漏的竞赛环节，考察学生的设备运行维护能力。一方面是要印证仪器设备组装竞赛环节的正确性，另一方面是关注设备的运营管理。与此环节相适应的教学课程设置，主要包括《污水处理厂运营管理》、《泵与风机》等课程，强化学生对设备运行管理的能力。虽然竞赛环节对这部分内容考察相对较少，却对学生综合应用及解决实际问题的能力提出了很高的要求。同时这是一个重要的职业发展方向，是就业方向的侧重点。因此，这部分的课程设置依然是教学重点。

 

 

 

使用Minkowski不等式和式(2),对∀z∈Rd2Q且x∈Q,有

 

 

 

 

 

 

对F2(z),注意到对∀x,y,z∈Rd满足|y-z|<t和2|y-z|≤|x-z|,则有|x-z|<2t.由这个事实以及可以得出对∀z∈Rd2Q且x∈Q,

 

 

 

 

 

 

 

 

最后估计F3(z).对∀x,y,z∈Rd满足2|y-z|≤|x-z|,|x-z|≤2|y-x|,则|y-x|≤3|x-z|/2.选取对∀z∈Rd2Q且x∈Q,有

 

 

 

 

 

 

 

 

结合F1(z),F2(z)和F3(z)的估计,有

和祥轩就这么在大少爷的一再催促中支撑了两年时间。突然有一天，这县城里就来了一支队伍，并在城里驻扎下来了，城里人这才知道，世道变了，这天下再不姓蒋了，而是姓“共”。街上就已经传出店面日后要收归公有。听到这消息后，就有人明确表示不服，凭什么？这是我们自己挣的，想拿走没那么容易。更有甚者，有人自己就放火烧了店面。结果那些人一个二个被抓了起来，立马投进了号子。几天后，那街道的老墙上就贴出了一张布告，并在河滩上毙了五个烧自家店面的始作俑者，前去看热闹的人围了一河湾。

 

对于Ⅰ，类似于Ⅱ的估计，则有

同样地,在蛋白水平使用蛋白免疫印迹法检测心肌组织中的凋亡相关蛋白,结果发现,相较于对照组,SA4503组的抗凋亡相关蛋白Bcl-2表达明显上调,而与促凋亡相关的蛋白Bax以及Capase-3的活化水平明显降低(见图4,图中*代表P＜0.05,**代表P＜0.01,n=3).

 

结合引理1及上式可证明定理1的结果.

2 进一步结果

最后给出多线性交换子的估计,对Lipschitz函数bi,i=1,…,m,记b=(b1,…,bm),则Littlewood-Paley多线性交换子和分别被定义为

 

(10)

 

 

(11)

相应的结论如下:

定理3 设K(x,y)满足(1.2)和为(10)式中定义的参数型Littlewood-Paley多线性交换子.假设在L2(μ)上有界,β,β1,…,βm∈(0,1)且对并且则

 

其中

注意到对∀ρ∈(0,∞),λ∈(1,∞)且x∈Rd,

 

(12)

由(12)和定理3可以得出下面的定理.

定理4 设K(x,y)满足(1.2)和为(3.2)式中定义的参数型区域积分多线性交换子.假设在L2(μ)上有界,β,β1,…,βm∈(0,1)且对并且则

为更直观地展现本文算法腮腺的分割结果，我们进行了三维腮腺图像的分割实验，实验参数：ν=0.01，Iter=20，其它参数设置与分割二维腮腺图像相同。图5为算法分割后的三维重建结果，（A）图为区域生长后的结果，将其作为FALD算法的初始轮廓进行演化，迭代20次得到最终的分割结果如（B）图所示。从图中不难看出，区域生长的结果含有阶梯状灰度，表面多毛刺、凹凸不均匀，而经过FALD算法之后表面变得平滑、连续，这是由于在分割过程中引入了原图边界的局部灰度差异信息，对复杂梯度边界上错误分割点进行矫正，从而得到了正确的分割结果。

 

这里

定理3和4的证明与前面定理1和2的证明类似,在此略去.

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